判断级数敛散性例题：求解 $/sum_{n=1}^{/infty}/frac{1}{n^2}$ 的收敛性

判断级数的敛散性是数学中一个重要问题。在许多应用领域，如物理、工程、经济学等，都需要判断级数的敛散性。以下是一个例题的解答过程。/n/n例题：判断级数 '$/sum_{n=1}^{/infty}/frac{1}{n^2}$' 的敛散性。/n/n解答：根据数学知识，当一个级数 '$/sum_{n=1}^{/infty}a_n$' 收敛时，其部分和数列 '$S_n=/sum_{k=1}^{n}a_k$' 是有界的，即存在一个正数 '$M$'，使得 '|$S_n$|/u2264M' 对于所有的 '$n$' 成立。因此，我们可以先求出该级数的部分和数列：/n/n$$S_n=/sum_{k=1}^{n}/frac{1}{k^2}$$ /n/n根据数学知识，欧拉-马斯刻罗尼常数 '$/gamma$' 的定义为：/n/n$$/gamma=/lim_{n/u2192/infty}/left(/sum_{k=1}^{n}/frac{1}{k}-/ln n/right)$$/n/n欧拉-马斯刻罗尼常数是一个无理数，约等于 '$0.577216$'。根据该定义，我们可以得到：/n/n/begin{aligned} S_n&=/sum_{k=1}^{n}/frac{1}{k^2}// &=/frac{/pi^2}{6}-/sum_{k=n+1}^{/infty}/frac{1}{k^2}// &=/frac{/pi^2}{6}-/left(/frac{1}{n}+/frac{1}{n+1}+/frac{1}{n+2}+/cdots/right)// &=/frac{/pi^2}{6}-/left(/frac{1}{n}+/int_{n}^{/infty}/frac{/mathrm{d}x}{x^2}/right)// &=/frac{/pi^2}{6}-/left(/frac{1}{n}+/frac{1}{n+1}/right) /end{aligned}/n/n因此，当 '$n/u2192/infty$' 时， '$S_n$' 趋近于欧拉-马斯刻罗尼常数 '$/gamma$'。由此可知，该级数 '$/sum_{n=1}^{/infty}/frac{1}{n^2}$' 是收敛的。/n/n综上所述，级数 '$/sum_{n=1}^{/infty}/frac{1}{n^2}$' 是收敛的。