级数敛散性判断例题：1/n^2 的收敛性分析

级数的敛散性是数学中一个重要的概念，对于一个级数而言，它的敛散性决定了它是否能够收敛到一个有限的值，或者发散到正无穷或负无穷。下面以一个例题来说明如何判断级数的敛散性。/n/n题目：判断级数'∑_{n=1}^{∞}1/n^2'的敛散性。/n/n解答：根据级数收敛的必要条件，我们首先考虑级数的部分和数列'{S_n}'是否有界。设'S_n=∑_{k=1}^{n}1/k^2'，则有：/n/n$$S_1=1,S_2=5/4,S_3=49/36,S_4=205/144,/cdots$$ /n/n由于'1/k^2>0'，因此'S_n'是单调递增的。我们可以证明，'S_n'有一个上界，即'S_n<5/4'。具体证明如下：/n/n当'n=1'时，显然有'S_1=1<5/4'；/n/n当'n≥2'时，'1/k^2<1/(k-1)k=1/(k-1)-1/k'，因此有：/n/n$$S_n=∑_{k=1}^{n}1/k^2<1+∑_{k=2}^{n}(1/(k-1)-1/k)=2-1/n<5/4$$ /n/n因此，'S_n'有一个上界，所以级数'∑_{n=1}^{∞}1/n^2'收敛。此时，我们称该级数为一个收敛的级数。/n/n总之，判断级数敛散性的关键在于判断它的部分和数列是否有界。如果有界，则该级数收敛；如果无界，则该级数发散。