ln(2+x) 的幂级数展开式 - 详细推导与公式

要展开 ln(2+x) 成 x 的幂级数，我们需要使用泰勒级数公式：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

其中，f(x) 是我们要展开的函数，a 是展开点，f'(x)、f''(x)、f'''(x) 等是 f(x) 的一阶、二阶、三阶导数。

我们把 f(x) 设为 ln(2+x)，a 设为 0，则有：

f(0) = ln(2+0) = ln(2)

f'(x) = 1/(2+x)

f''(x) = -1/(2+x)^2

f'''(x) = 2/(2+x)^3

将这些代入泰勒级数公式中，得到：

ln(2+x) = ln(2) + 1/(2)(x-0) - 1/(2^2)(x-0)^2/2! + 2/(2^3)(x-0)^3/3! - ...

简化一下：

ln(2+x) = ln(2) + x/2 - x^2/8 + x^3/24 - ...

这就是 ln(2+x) 的 x 的幂级数展开式了。