1/(1+x^2) 的不定积分详解 - 详细步骤及公式推导

不定积分是数学中的一种基本运算，它可以求出函数的原函数，即函数的不定积分。在本题中，我们需要求出函数 1/(1+x^2) 的不定积分。

首先，我们可以利用换元法来求解这个不定积分。设 u=1+x^2，那么 du/dx=2x，即 dx=du/2x。将 u=1+x^2 代入原式，得到：

∫1/(1+x^2)dx = ∫1/u * du/2x

对于 1/u，我们可以将其拆分为 1/(u-1+1)，然后利用分式分解的方法将其化简为：

1/u = 1/(2i) * [1/(u-i) - 1/(u+i)]

其中 i 为虚数单位。将化简后的式子代入原式，得到：

∫1/(1+x^2)dx = 1/(2i) * ∫[1/(u-i) - 1/(u+i)] * du/2x

再利用分部积分法，将 du/2x 分解为 d(u-i)/2(x-i) - d(u+i)/2(x+i)，得到：

∫1/(1+x^2)dx = 1/(4i) * [ln(u-i) - ln(u+i)] + C

其中 C 为积分常数。

最后，将 u=1+x^2 代回原式，得到：

∫1/(1+x^2)dx = 1/(4i) * [ln(1+x^2-i) - ln(1+x^2+i)] + C

这就是函数 1/(1+x^2) 的不定积分。