ln(1+x)-x 的等价无穷小证明及分析

我们需要证明当 x→0 时，ln(1+x)-x 是等价无穷小。

首先，我们可以使用泰勒展开公式展开 ln(1+x):

ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + …

将上式代入 ln(1+x)-x，得到：

ln(1+x)-x = -x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + …

因为 x→0，所以 x^2,x^3,x^4,… 都比 x 更加小，可以忽略不计。因此，我们只需要考虑 -x^2/2 这一项。

我们知道，当 x→0 时，x^2 是一个比 x 更小的正数，因此 -x^2/2 是一个比 x 更小的负数。而等价无穷小的定义是，当 x→0 时，其绝对值趋近于 0。因此，-x^2/2 是一个等价无穷小。

综上所述，当 x→0 时，ln(1+x)-x 是等价无穷小，且其等价无穷小项是 -x^2/2。