导数求极值经典例题详解：函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 在 [0, 4] 上的极值

求解导数的极值是微积分中的一个重要内容，下面给出一个经典的例题来说明如何求解导数的极值。

例题：

已知函数'f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1'，求'f(x)'在'[0, 4]'上的极值。

解析：

首先，我们需要求出'f(x)'的一阶导数'f'(x)'和二阶导数'f''(x)'。

'f'(x) = 3x^2 - 12x + 9'

'f''(x) = 6x - 12'

然后我们需要求出'f'(x)'的零点，即'f'(x) = 0'，即

'3x^2 - 12x + 9 = 0'

解得'x = 1'或'x = 3'。

我们可以通过'f''(x)'的符号来判断'f(x)'在'x = 1'和'x = 3'处的极值类型。当'f''(x) > 0'时，'f(x)'在'x'处取极小值；当'f''(x) < 0'时，'f(x)'在'x'处取极大值。

因此，我们可以列出下表来判断'f(x)'在'[0, 4]'上的极值类型：

| 'x' | 0 | 1 | 3 | 4 | |-----|-----|-----|-----|-----| | 'f''(x)' | -12 | 0 | 6 | 12 | | 极值类型 | 极大值 | 不是极值 | 极小值 | 极大值 |

因此，'f(x)'在'x = 0'和'x = 4'处取得极大值，'f(x)'在'x = 1'处不是极值，'f(x)'在'x = 3'处取得极小值。

综上所述，'f(x)'在'[0, 4]'上的极值为：

'f(0) = 1'，'f(4) = -31'，'f(1) = 5'，'f(3) = -7'。

因此，'f(x)'在'x = 0'处取得极大值1，'f(x)'在'x = 4'处取得极大值-31，'f(x)'在'x = 3'处取得极小值-7。

结论：

'f(x)'在'[0, 4]'上的极值为：'f(0) = 1'（极大值），'f(4) = -31'（极大值），'f(3) = -7'（极小值）。