求解 sin²x 的原函数 - 详细步骤和验证

求解 sin²x 的原函数，我们需要使用一些常见的积分技巧和公式。

首先，我们可以使用三角恒等式 sin²x = (1-cos2x)/2 将 sin²x 转化为 cos2x 的函数。然后，我们可以使用反向的链式法则，令 u=2x，du/dx=2，然后将 sin²x 替换为 (1-cos2x)/2，得到：

∫sin²xdx = ∫(1-cos2x)/2 dx = 1/2 ∫(1-cos2x)dx = 1/2 ∫1dx - 1/2 ∫cos2xdx = x/2 - 1/4sin2x + C

其中 C 是任意常数，sin2x 代表 2x 的正弦值。

因此，sin²x 的原函数为 x/2 - 1/4sin2x + C。这个结果可以通过对原函数进行求导验证。我们可以使用导数的链式法则来计算 sin²x 的导数，得到：

d/dx(sin²x) = 2sinx cosx

然后，我们可以将 x/2 - 1/4sin2x + C 求导得到：

d/dx(x/2 - 1/4sin2x + C) = 1/2 - 1/2cos2x

使用三角恒等式 cos²x + sin²x = 1，我们可以将 1/2 - 1/2cos2x 转化为 sin²x，验证了我们的原函数的正确性。

因此，我们已经求解了 sin²x 的原函数，它是 x/2 - 1/4sin2x + C。