线性代数：如何判断向量是否可线性表示？

在线性代数中，一个向量'a4'可以由向量'a1'、'a2'、'a3'线性表示，如果存在实数'k1'、'k2'、'k3'，使得'a4=k1a1+k2a2+k3a3'。然而，并不是所有向量都可以被线性表示，即使它们在同一个向量空间中。

一个向量'a4'不能由'a1'、'a2'、'a3'线性表示的条件是，'a1'、'a2'、'a3'不是线性无关的向量。这意味着，至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。如果存在向量'a1'、'a2'、'a3'不是线性无关的向量，那么就无法通过线性组合来表示向量'a4'。

举个例子，假设'a1=(1,0,0)'、'a2=(0,1,0)'、'a3=(1,1,0)'、'a4=(1,1,1)'。我们可以通过求解方程组来确定'k1'、'k2'、'k3'的值，使得'a4=k1a1+k2a2+k3a3'。但是，由于'a1'、'a2'、'a3'不是线性无关的向量，我们会发现无法找到合适的解来表示向量'a4'。

因此，一个向量'a4'不能由'a1'、'a2'、'a3'线性表示的条件是，'a1'、'a2'、'a3'不是线性无关的向量。在这种情况下，我们需要使用其他技术来表示向量'a4'，例如非线性组合或者通过其他向量表示。