无穷级数 1/(n+1)(n+4) 的敛散性证明

首先，我们可以将这个无穷级数表示为一个部分分式：

$\frac{1}{(n+1)(n+4)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+4})$

现在，我们可以应用夹逼准则来证明这个级数的敛散性。我们可以将这个级数拆分为两个级数：

$S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$

$S_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+4}$

现在，我们来看看这两个级数的敛散性。对于 $S_1$，我们可以应用调和级数的结论，知道它是发散的。对于 $S_2$，我们可以应用比较判别法：

$\frac{1}{n+4} \leq \frac{1}{n}$

因此，$S_2$ 也是发散的。现在，我们来看看原始级数，即 $\frac{1}{(n+1)(n+4)}$，它可以表示为：

$\frac{1}{(n+1)(n+4)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+4})$

因此，我们可以将这个级数表示为：

$\frac{1}{3}(S_1 - S_2)$

由于 $S_1$ 和 $S_2$ 都是发散的，因此 $\frac{1}{3}(S_1 - S_2)$ 也是发散的。因此，原始级数 $\frac{1}{(n+1)(n+4)}$ 也是发散的。

综上所述，原始级数 $\frac{1}{(n+1)(n+4)}$ 是发散的。