求解函数f(x) = 1/(1+x^2)的原函数 - 详细步骤及应用

题目要求求解函数f(x) = 1/(1+x^2)的原函数。我们可以使用积分的方法来求解。

首先，我们可以尝试使用分部积分法，将f(x)拆分为两个函数的乘积。令u = x，dv = 1/(1+x^2)dx，则du/dx = 1，v = arctan(x)，代入分部积分公式：

∫f(x)dx = ∫(1/(1+x^2))dx = x*arctan(x) - ∫(arctan(x)*dx)

接下来，我们需要求解∫(arctan(x)*dx)。我们可以使用换元法，令u = arctan(x)，则du/dx = 1/(1+x^2)，dx = du/(1+u^2)，代入原式：

∫(arctan(x)dx) = ∫(udu/(1+u^2)) = 1/2*ln(1+u^2) + C

其中C是常数。将u = arctan(x)代入得到：

∫(arctan(x)dx) = 1/2ln(1+x^2) + C

将其代入分部积分公式中，得到：

∫f(x)dx = xarctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C

其中C是常数。这就是f(x)的原函数。

总结一下，我们通过分部积分法和换元法求解了函数f(x) = 1/(1+x^2)的原函数，得到了xarctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C。这个结果可以在计算机科学、物理学、工程学等领域中得到广泛的应用。