1/(1+x^2) 的原函数求解方法详解

求解 1/(1+x^2) 的原函数，需要找到一个函数，其导数恰好是 1/(1+x^2)。我们可以通过代数和微积分的方法来解决这个问题。

首先，我们可以使用分部积分法来求出 1/(1+x^2) 的原函数。分部积分法的公式为：

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx

我们可以将 1/(1+x^2) 表示为 u'(x)，然后选择 v(x) = arctan(x)，则 v'(x) = 1/(1+x^2)。代入公式中得：

∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) - ∫arctan(x)dx

我们还需要求出 ∫arctan(x)dx 的值。这可以通过部分分式分解和换元法来解决。具体地，我们可以将 arctan(x) 表示为：

arctan(x) = ∫(1/(1+x^2))'dx

然后，我们可以使用分式分解将 1/(1+x^2) 表示为：

1/(1+x^2) = (1/2)((1/(1+ix)) - (1/(1-ix)))

其中，i 为虚数单位。代入上面的式子得：

∫arctan(x)dx = ∫(1/2)((1/(1+ix)) - (1/(1-ix)))dx

我们可以将分母中的 ix 用 u 代替，即令 u = ix，则 x = -iu。代入上面的式子得：

∫arctan(x)dx = ∫(1/2)((1/(1+u)) + (1/(1-u)))i-du

我们可以使用换元法，令 v = 1/(1+u) + 1/(1-u)，则 dv/dx = 2/(1-u^2)。代入上面的式子得：

∫arctan(x)dx = (1/2)i∫(dv/dx)dv = (1/2)i∫dv/v^2√(1-v^2)

这里我们使用了三角函数的关系√(1-v^2) = sinθ，其中 θ 为 arcsin(v)。代入上面的式子得：

∫arctan(x)dx = (1/2)i∫sinθdθ = (-1/2)icosθ + C

这里 C 为常数。我们还需要将 θ 表示为 x 的函数。使用三角函数的关系 sinθ = v = 1/(1+u) + 1/(1-u)，可以得到：

sinθ = (2x)/(1+x^2)

代入上面的式子得：

∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + (1/2)icos(2arctan(x)) + C

这就是 1/(1+x^2) 的原函数。