有理数加减乘除运算性质证明：有限个有理数的运算结果仍是有理数

定理：有限个有理数有限次加减乘除后一定还是有理数。/n/n证明：/n/n我们可以用归纳法来证明这个定理。/n/n当只有一个有理数时，显然这个有理数就是有理数。/n/n假设对于任意 'k' 个有理数，它们经过有限次加减乘除后都是有理数。/n/n现在考虑 'k+1' 个有理数 'a1, a2, ..., ak+1'，它们的加减乘除可以表示为：/n/n$$b = f(a1, a2, ..., ak) / /text{and} / c = g(b, a_{k+1})$$ /n/n其中，'f' 和 'g' 分别表示加减乘除运算。/n/n根据归纳假设，'b' 是有理数，因此只需要证明 'c' 也是有理数即可。/n/n我们先考虑加法和减法：/n/n$$//begin{aligned}//b &= f(a1, a2, ..., ak) ////c &= g(b, a_{k+1}) ////d &= b + a_{k+1} ////e &= b - a_{k+1} ////end{aligned}$$/n/n根据归纳假设，'d' 和 'e' 都是有理数，因此 'c' 也是有理数。/n/n类似地，对于乘法和除法：/n/n$$//begin{aligned}//b &= f(a1, a2, ..., ak) ////c &= g(b, a_{k+1}) ////d &= b /times a_{k+1} ////e &= //frac{b}{a_{k+1}} ////end{aligned}$$/n/n根据归纳假设，'d' 和 'e' 都是有理数，因此 'c' 也是有理数。/n/n综上所述，有限个有理数有限次加减乘除后一定还是有理数。