tanx-sinx 等价无穷小证明详解

首先，我们需要明确什么是等价无穷小。等价无穷小是指在一个极限中，两个无穷小之间的比值趋近于 1。也就是说，它们的差值可以忽略不计。

现在，我们来证明 tanx-sinx 是等价无穷小。

我们知道：

sinx = x - x³/3! + x⁵/5! - ... tanx = sinx / cosx cosx = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...

将上述三个式子代入 tanx-sinx 中，得到：

tanx - sinx = sinx / cosx - sinx

= sinx (1/cosx - 1)

= sinx (1 - cosx) / cosx

将 cosx 展开，得到：

tanx - sinx = sinx (1 - (1 - x²/2! + x⁴/4! - ...))

= sinx (x²/2! - x⁴/4! + ...)

显然，sinx 和 x 的差值可以忽略不计，因此：

tanx - sinx ≈ x²/2! - x⁴/4! + ...

这是一个无穷小，而且它的阶数比 x 小，因此 tanx-sinx 是等价无穷小。

综上所述，tanx-sinx 是等价无穷小，它们的差值可以忽略不计。