xy/(x^2+y^2) 的偏导数计算详解

首先，我们需要确定偏导数的定义。偏导数是多元函数对其中一个自变量求导后，其他自变量视为常数所得到的导数。对于给定的多元函数 f(x,y)，x 和 y 分别是自变量，我们可以写出它的偏导数如下：

∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)]/Δx

∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)]/Δy

在本题中，我们需要求解的是函数 f(x,y) = xy/(x^2+y^2) 的偏导数。

首先，我们来求解 ∂f/∂x。按照偏导数的定义，我们需要将 y 视为常数，然后对 x 求导。因此，我们有：

∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)]/Δx

= lim(Δx→0) [(x+Δx)y/[(x+Δx)^2+y^2] - xy/(x^2+y^2)]/Δx

= lim(Δx→0) [y(x^2+y^2-(x+Δx)^2)/(x+Δx)^2+y^2]/Δx

= lim(Δx→0) [y(y^2-x^2-2xΔx-Δx^2)/(x+Δx)^2+y^2]/Δx

= -2xy(x^2-y^2)/[(x^2+y^2)^2(y^2+(x-Δx)^2+y^2)]

= -2xy(x^2-y^2)/[(x^2+y^2)^2(x^2+y^2)]

= -2xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^3

同理，我们可以求出 ∂f/∂y：

∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)]/Δy

= lim(Δy→0) [(x)(y+Δy)/[(x)^2+(y+Δy)^2] - xy/(x^2+y^2)]/Δy

= lim(Δy→0) [x(x^2+y^2-(y+Δy)^2)/(x)^2+(y+Δy)^2]/Δy

= lim(Δy→0) [x(x^2-y^2-2yΔy-Δy^2)/(x)^2+(y+Δy)^2]/Δy

= -2xy(y^2-x^2)/[(x^2+y^2)^2(x^2+(y-Δy)^2+y^2)]

= 2xy(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^3

因此，我们得出：

∂f/∂x = -2xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^3

∂f/∂y = 2xy(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^3

这就是函数 f(x,y) = xy/(x^2+y^2) 的偏导数。这些偏导数可以用来计算该函数在特定点上的切线和法线，以及求解该函数的极值和拐点等问题。