增函数乘增函数：口诀及数学证明

增函数乘增函数，结果还是增函数。

'这个口诀的意思是，如果两个函数都是增函数，那么它们的乘积也是增函数。这个结论可以用数学证明来说明。'

假设$f(x)$和$g(x)$都是增函数，即对于任意的$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$和$g(x_1)<g(x_2)$。那么对于任意的$x_1<x_2$，有：

$f(x_1)g(x_1)<f(x_2)g(x_2)$

因为$f(x)$和$g(x)$都是正数，所以可以将它们移到不等式的同一侧，得到：

$rac{f(x_1)g(x_1)}{f(x_2)g(x_2)}<1$

将分子分母同时乘以$f(x_2)g(x_1)$，得到：

$rac{f(x_1)g(x_1)}{f(x_2)g(x_2)} imes f(x_2)g(x_1)<f(x_2)g(x_1)$

化简后得到：

$f(x_1)g(x_1)<f(x_2)g(x_2)$

这说明，如果$f(x)$和$g(x)$都是增函数，那么它们的乘积$f(x)g(x)$也是增函数。

因此，我们可以得到口诀：“增函数乘增函数，结果还是增函数”。这个结论在数学中有着重要的应用，特别是在函数的复合和导数的求解中，可以简化问题的处理。