sin²a + cos²a = 1：证明与意义 | 三角函数恒等式

题目所给出的公式是sin'a + cos'a = 1。这个公式是三角函数中十分重要的一个公式，被称为三角恒等式。那么为什么这个公式是正确的呢？下面我们来证明一下。

证明：

我们知道，对于任意一个角a，sin a 和 cos a 都是有定义的。并且，有以下两个公式：

sin'a + cos'a = 1 ① tan a = sin a / cos a ②

我们来利用这两个公式来证明①。

首先，将公式②中的sin a除以cos a，得到：

sin a / cos a = tan a

将上式整理得：

sin a = tan a * cos a

将上式代入公式①中，得到：

sin'a + cos'a = (tan a * cos a)' + cos'a

= cos'a * (tan'a + 1)

= cos'a * sec'a

其中，sec a 表示 secant 函数，是 cos a 的倒数。因此，我们可以将上式继续化简：

sin'a + cos'a = 1 / cos'a

cos'a * (sin'a + cos'a) = 1

sin'a * cos'a + cos'a = cos'a

sin'a * cos'a = cos'a - cos'a

sin'a * cos'a = cos'a * (1 - cos'a)

如果 cos a 等于1或-1，那么公式①显然成立。如果 cos a 不等于1或-1，那么我们可以将上式两边同时除以 cos'a，得到：

sin'a = 1 - cos'a

这个公式也是十分重要的一个恒等式，也被称为三角恒等式之一。因此，我们证明了公式①是正确的。

总结：

sin'a + cos'a = 1，是三角函数中十分重要的一个恒等式。这个公式的证明依赖于 tan a = sin a / cos a 这个公式，以及对 cos'a * sec'a 这个式子的化简。这个公式的意义在于，对于任意一个角a，它的正弦平方和余弦平方的和都等于1，这是三角函数中最基本的一条性质。