线性无关向量：定义、条件和性质

向量线性无关的条件

向量线性无关是指向量组中任意一个向量都不能由其他向量线性组合得到。换句话说，向量组 {a,b,c} 线性无关的充要条件是：

1. a,b,c 中任意两个向量的向量积不为 0。因为两个向量的向量积为 0 说明这两个向量的方向相同或相反，这说明它们线性相关。
2. a,b,c 不能表达为彼此的整数倍。如果有 a=kb 或者 b=ka，则说明 a,b 线性相关。
3. 向量组中任意一个向量都不能由其他向量的线性组合得到。也就是说，如果有 a=αb+βc (α,β 为实数)，则说明 a,b,c 线性相关。

线性无关的性质

线性无关的向量组在向量空间中可以生成一个子空间。线性无关的向量组中的向量个数等于子空间的维数。线性无关是判断向量组是否生成一个子空间的重要条件。

向量组线性无关具有如下性质：

(1) 空集线性无关； (2) 任意向量组的子集线性无关； (3) 如果向量组线性无关，则在该向量组中添加任意向量后，扩展后的向量组线性无关； (4) 两个线性无关的向量组的并集线性无关。