格林公式例题详解：计算曲线积分

格林公式是多元函数微积分中非常基础的一个公式，它用于计算曲线或曲面的积分值。下面我们通过一个例题来讲解格林公式的应用。

假设有一个平面区域D，它的边界为一个简单闭合曲线C，现在要求计算如下积分：

$\oint_C (x^2+y^2)\mathrm{d}x + xy\mathrm{d}y$

按照格林公式的定义，我们可以将积分转化为对D区域内的函数进行积分。首先，我们需要求出函数f(x,y)和g(x,y)，使得：

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x}=x^2+y^2$

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}=xy$

根据以上两个式子，我们可以得到：

$f(x,y)=\frac{1}{3}x^3+xy^2+C_1$

$g(x,y)=\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}y^3+C_2$

其中，$C_1$和$C_2$是任意常数。

接下来，我们将上述函数代入格林公式的式子中，得到：

$\oint_C (x^2+y^2)\mathrm{d}x + xy\mathrm{d}y=\iint_D \left(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

将$f(x,y)$和$g(x,y)$的二阶偏导数代入上式，可以得到：

$\oint_C (x^2+y^2)\mathrm{d}x + xy\mathrm{d}y=\iint_D (2x-2x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$

因此，原积分的值为0。

通过这个例题，我们可以看到，格林公式可以将曲线或曲面上的积分转化为区域内的积分，从而更方便地求解。同时，我们还需要注意，格林公式的使用需要满足一定的条件，例如曲线或曲面必须是简单闭合的，函数的偏导数必须存在且连续等。