线性代数：已知特征值求特征向量例题解析

已知特征值求特征向量例题解析

本例题将详细讲解如何根据已知特征值求解对应的特征向量。

例题：

已知矩阵 $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$ 的特征值为 $\lambda=3$，求对应的特征向量。

解答：

根据特征值和特征向量的定义，我们有 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x}$ 是特征向量。将矩阵 $A$ 和特征值 $\lambda$ 带入上式，得到：

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3x_1 \ 3x_2 \end{bmatrix}$

化简得到：

$2x_1-x_2=3x_1$

$-x_1+2x_2=3x_2$

移项得到：

$-x_1+x_2=0$

因此，我们可以得到一个特征向量 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$。

我们可以验证一下，将矩阵 $A$ 和特征向量 $\mathbf{x}$ 带入 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$：

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \ 3 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$

因此，我们可以得出结论：矩阵 $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$ 的特征值为 $\lambda=3$，对应的特征向量为 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$。