切割线定理公式及证明 - 几何学定理详解

切割线定理公式及证明/n/n切割线定理公式：/n/n设圆'O'为一个圆，'P'为圆外一点，过'P'点分别作圆'O'的两条切线'PA'和'PB'，则'PA'与'PB'的交点'M'到点'P'的距离等于点'P'到圆心'O'的距离。/n/n证明：/n/n1. 连接'OP'和'OM'，则∠OPA=∠OMP，∠OPB=∠OMB。/n/n2. 因为'PA'与'PB'是圆'O'的切线，所以∠OAP=∠OBP=90°。/n/n3. 由于△OPA和△OPB是直角三角形，所以：/n/n$$/n/begin{aligned}/n&OP^2=OA^2+AP^2 ///n&OP^2=OB^2+BP^2/n/end{aligned}/n$$/n/n4. 将上述两个式子相减，得：/n/n$$OA^2-OB^2+AP^2-BP^2=0$$/n/n5. 将'AP^2-BP^2'拆开，得：/n/n$$OA^2-OB^2+(AM+MP)^2-(BM+MP)^2=0$$/n/n6. 化简，得：/n/n$$AM·BM=MP^2$$/n/n7. 根据正弦定理，得：/n/n$$/n/frac{AM}{/sin/angle AOM}=/frac{OM}{/sin/angle OAM}/n$$/n/n$$/n/frac{BM}{/sin/angle BOM}=/frac{OM}{/sin/angle OBM}/n$$/n/n8. 将上述两个式子带入到第7步得到的式子中，得：/n/n$$/n/frac{OM^2}{AM/cdot OM}=/frac{OM^2}{BM/cdot OM}/n$$/n/n9. 化简，得：/n/n$$AM=BM$$/n/n10. 因此，'M'点到'P'点的距离等于'OM'的长度，即点'P'到圆心'O'的距离。/n