求解极坐标方程曲线r=sina与r=√3cosa所围公共部分的面积

首先，我们可以将两个极坐标方程转化为直角坐标系方程，即

$$\begin{cases}\x = r\cos\theta\y = r\sin\theta\end{cases}$$

将'r = sin\theta'代入，得到'x = sin\theta\cos\theta'，'y = sin^2\theta'。将'r = \sqrt{3}\cos\theta'代入，得到'x = \sqrt{3}\cos^2\theta'，'y = \sqrt{3}\cos\theta\sin\theta'。

接下来，我们需要求出两个曲线的交点。令'sin\theta = \sqrt{3}\cos\theta'，则有'tan\theta = \sqrt{3}'，解得'\theta = \frac{\pi}{3}'。代入'r = sin\theta'和'r = \sqrt{3}\cos\theta'中，得到交点'P(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{4})'。

接着，我们可以将交点作为极角的分界点，分别求出两个曲线在'0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}'和'\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}'上的面积，再相加即可。由于两个曲线的极径均为正，因此所求的面积为

$$\S = \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{2}r^2d\theta + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}r^2d\theta$$

代入'r = sin\theta'和'r = \sqrt{3}\cos\theta'，得到

$$\S = \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{2}sin^2\theta d\theta + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{3}{2}cos^2\theta d\theta$$

化简得到

$$\S = \frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{3}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3} - 2\pi}{8}$$

因此，所求的面积为'$\frac{3\sqrt{3} - 2\pi}{8}$'。