二次型正定矩阵的充要条件：特征值全为正数

一、定义：/n/n对于一个实对称矩阵 $A=(a_{ij}){n //times n}$，如果对任意非零向量 $/boldsymbol{x}=(x_1,x_2,//cdots,x_n)^T //in //mathbb{R}^n$，都有 $/boldsymbol{x}^T A //boldsymbol{x} > 0$，则称 $A$ 是正定矩阵，或称 $A$ 是正定二次型。/n/n二、正定充分条件：/n/n若 $A$ 的特征值全为正数，则 $A$ 是正定矩阵。/n/n证明：/n/n设 $/lambda_1,/lambda_2,//cdots,/lambda_n$ 是 $A$ 的特征值，$/boldsymbol{x}=(x_1,x_2,//cdots,x_n)^T$ 是非零向量，则有 $A//boldsymbol{x}=/lambda //boldsymbol{x}$，即 $/boldsymbol{x}^T A //boldsymbol{x}=/boldsymbol{x}^T //lambda //boldsymbol{x}=/lambda //boldsymbol{x}^T //boldsymbol{x}$。/n/n由于 $/lambda_i>0$，故 $/boldsymbol{x}^T A //boldsymbol{x}=/sum/limits{i=1}^{n} //lambda_i x_i^2>0$，因此 $A$ 是正定矩阵。/n/n三、正定必要条件：/n/n若 $A$ 是正定矩阵，则 $A$ 的特征值全为正数。/n/n证明：/n/n设 $/lambda_1,/lambda_2,//cdots,/lambda_n$ 是 $A$ 的特征值，$/boldsymbol{x}=(x_1,x_2,//cdots,x_n)^T$ 是非零向量，则有 $/boldsymbol{x}^T A //boldsymbol{x}=/sum/limits_{i=1}^{n} //sum/limits_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$。/n/n由于 $A$ 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 $P$，使得 $A=P^T D P$，其中 $D$ 是对角矩阵，其对角线上的元素为 $A$ 的特征值。/n/n令 $/boldsymbol{y}=P//boldsymbol{x}$，则有 $/boldsymbol{x}=P^T //boldsymbol{y}$，$/boldsymbol{x}^T A //boldsymbol{x}=/boldsymbol{y}^T D //boldsymbol{y}$。/n/n由于 $A$ 是正定矩阵，故 $/boldsymbol{y}^T D //boldsymbol{y}=/sum/limits_{i=1}^{n} //lambda_i y_i^2>0$，故 $/lambda_i>0$，即 $A$ 的特征值全为正数。/n/n综上所述，$A$ 是正定矩阵的充要条件为 $A$ 的特征值全为正数。