负1的立方根是多少？详细解答及计算过程

负1的立方根是 -0.5 + 0.866i。

立方根是指一个数的三次方等于该数的根号，即a的立方根为b，当b的三次方等于a时，即b³=a。

因此，-1的立方根b应满足b³=-1。考虑将-1写成复数形式，即-1 = 1 + 0i，其中i为虚数单位。则有：

b³ = -1 = 1 + 0i

将b写成复数形式，即b = x + yi，其中x和y为实数。则有：

(x + yi)³ = 1 + 0i

展开左侧的立方，得：

x³ + 3x²yi - 3xy² - y³i³ = 1 + 0i

由于i³ = -i，可以化简为：

x³ - 3xy² + (3x²y - y³)i = 1 + 0i

因为x和y都是实数，所以左侧的虚部必须为0。因此，有：

3x²y - y³ = 0

或者：

y(3x² - y²) = 0

这个方程有两个解：y=0或3x²=y²。如果y=0，则x³=1，即x=1。因此，b=1+0i=1。但这不是-1的立方根，所以必须排除这种情况。

如果3x²=y²，则有：

x³ + 3x²y - y³i³ = 1 + 0i

可以将y用x表示，得：

x³ + 3x²(x√3) - (x√3)³i = 1 + 0i

化简为：

x³ + 3x³√3 - 3x = 1 + 0i

这是一个实数方程，可以通过数值方法求解。用牛顿法可以得到：

x ≈ -0.5 + 0.866i

因此，-1的立方根是-0.5 + 0.866i。