含参不等式证明：算术平均-几何平均不等式（AM-GM）例题详解

例题：证明 '√ab'≤(a+b)/2 对任意正实数 a,b 成立。

解析：首先，我们将不等式化简为 a+b≥2'√ab'，然后使用平方的思想，即将两边平方得到：

(a+b)²≥4ab

化简得：

a²+b²+2ab≥4ab

即：

a²+b²-2ab≥0

(a-b)²/2≥0

显然，上式成立，因为分子是平方项，不可能小于或等于零。因此，我们证明了原命题。

答案：该不等式是一个经典的不等式，被称为算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）。它是数学中的一个基本不等式，可以用于证明各种数学问题。它的基本思想是将多个非负实数的乘积最大化，即通过平均值来最大化它们的乘积。在本例中，我们通过将 '√ab' 替换为 (a+b)/2 来使用 AM-GM 不等式。