幂级数收敛性分析：在x=2处收敛的条件

若幂级数anx^n在x=2处收敛，意味着在x=2时，幂级数的和存在有限的极限值。这个问题涉及到幂级数的收敛性和收敛半径的计算。

首先，我们需要确定幂级数的收敛半径。根据幂级数的收敛半径公式，收敛半径R等于：

R = lim |an / an+1|

当n趋近于无穷大时。如果该极限值存在，则幂级数在收敛半径内一定收敛，在收敛半径外则一定发散。如果极限值为0，则收敛半径为正无穷。如果极限值为正无穷，则收敛半径为0。

因此，我们需要计算：

lim |an / an+1| = lim |2n(n-1) / (n+1)| = 2

当n趋近于无穷大时。因为该极限值存在，所以幂级数的收敛半径为R=1/2。

接下来，我们需要确定幂级数在x=2处是否收敛。根据幂级数的收敛定理，当x=2时，幂级数收敛的充要条件是：

lim |an * 2^n| = 0

当n趋近于无穷大时。如果该极限值存在，则幂级数在x=2处收敛。如果极限值为正无穷，则幂级数在x=2处发散。

因此，我们需要计算：

lim |an * 2^n| = lim |2^n * (2n(n-1) / (n+1))| = lim |2n(n-1) * 2^n / (n+1)|

当n趋近于无穷大时。由于2^n增长速度比任何多项式的增长速度都要快，因此lim |2n(n-1) * 2^n / (n+1)|的极限值等于0。因此，幂级数在x=2处收敛。

综上所述，若幂级数anx^n在x=2处收敛，其收敛半径为R=1/2，幂级数在x=2处收敛。