tan1/n 级数的敛散性分析 - 详细证明与步骤

题目翻译：讨论级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{tan1}{n}$的敛散性。

首先，我们可以将该级数拆分成两个级数：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{tan1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot\tan1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}\cdot 2^{2k}\cdot B_{2k}}{(2k)!}\cdot(\frac{\pi}{4}-1)^{2k}$

其中，$B_{2k}$表示伯努利数。

根据调和级数的性质，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，因此我们只需要讨论第二个级数的敛散性。

首先，我们可以证明该级数的绝对值收敛，即：

$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}\cdot 2^{2k}\cdot B_{2k}}{(2k)!}\cdot(\frac{\pi}{4}-1)^{2k}\right|\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\cdot |B_{2k}|}{(2k)!}\cdot(\frac{\pi}{4}-1)^{2k}$

由于$\frac{\pi}{4}-1<0$，因此$(\frac{\pi}{4}-1)^{2k}$是单调递减的，而$\frac{2^{2k}\cdot |B_{2k}|}{(2k)!}$是单调递减的，因此我们可以使用比较判别法：当$n$足够大时，有$\frac{1}{n}<\frac{1}{n^{\alpha}}$，其中$\alpha>1$，于是我们可以取$\alpha=2$，则：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\cdot |B_{2k}|}{(2k)!}\cdot(\frac{\pi}{4}-1)^{2k}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\cdot |B_{2k}|}{(2k)!}\cdot(\frac{\pi}{4}-1)^{2k}$

由于$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\cdot |B_{2k}|}{(2k)!}$是一个收敛的级数（可通过比较判别法证明），因此$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\cdot |B_{2k}|}{(2k)!}\cdot(\frac{\pi}{4}-1)^{2k}$也是一个收敛的级数。

综上所述，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{tan1}{n}$是一个绝对收敛的级数，因此也是一个收敛的级数。