1/(1-x²) 的原函数：求解过程与详细步骤

首先，我们需要确定这个函数在哪些区间内有定义。由于分母为 1-x²，所以当 x²=1 时，分母为 0，此时函数无定义。因此，该函数在 (-1, 1) 以外的所有实数上有定义。

接下来，我们需要求出函数的原函数。我们首先可以通过分式分解法将 1/(1-x²) 拆分为两个简单的分式：

1/(1-x²) = 1/[(1+x)(1-x)]

然后，我们可以使用部分分式分解法将这个分式拆分为若干个简单的分式之和。具体地，我们可以将 1/[(1+x)(1-x)] 拆分为 A/(1+x) + B/(1-x)，其中 A 和 B 是待定系数。

接下来，我们需要求出 A 和 B 的值。为此，我们可以将原式左右两边同时乘以 (1+x)(1-x)，得到：

1 = A(1-x) + B(1+x)

接着，我们可以令 x=1 和 x=-1，分别解出 A 和 B 的值。具体地，当 x=1 时，我们有：

1 = A(1-1) + B(1+1) = 2B

因此，B=1/2。同理，当 x=-1 时，我们有：

1 = A(1+1) + B(1-1) = 2A

因此，A=1/2。

因此，我们得到了原函数：

∫[1/(1-x²)]dx = ∫[1/(2(1+x)) + 1/(2(1-x))]dx

= (1/2)ln|1+x| - (1/2)ln|1-x| + C

其中 C 是任意常数。这就是函数 1/(1-x²) 的原函数。