1+1/n 的 n 次方极限：深入解析与证明

首先，我们可以将该式子写成：

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$

这是一个经典的极限，也被称为自然指数的定义。它的值为$e$，即：

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

因此，原式的极限也是$e$。

可以用以下步骤来证明：

当$n=1$时，原式为$2$。

当$n>1$时，我们可以使用数学归纳法来证明：

假设当$n=k$时，原式为$e$，即：

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

现在我们需要证明当$n=k+1$时，原式仍为$e$。

我们有：

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

$=\lim\limits_{n\to\infty}[(1+\frac{1}{n+1})^n\times(1+\frac{1}{n+1})]$

$=[\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n]\times[\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})]$

$=e\times1=e$

因此，我们证明了当$n=k+1$时，原式仍为$e$。

综上所述，原式的极限为$e$。