两个三位数相乘的积是奇数：解题步骤与答案

题目分析：

根据题目所给条件，'两个三位数34a和56b相乘的积是奇数'，我们可以得到如下结论：

两个三位数都是奇数或者一个是奇数一个是偶数；
两个数的个位数相乘的结果一定是奇数；
如果两个数的十位数相乘的结果是奇数，那么它们的百位数必须相乘得到偶数；
如果两个数的十位数相乘的结果是偶数，那么它们的百位数可以是奇数也可以是偶数。

解题思路：

根据题目所给条件，我们可以列出如下的方程式：

(300 + 10a + b) * (560 + 10b + a) = 奇数

将方程式展开并化简，得到：

168000 + 19100a + 1910b + 560a + 10a^2 + 560b + 10b^2 = 奇数

观察方程式，发现其中的常数项和一次项都是偶数，而二次项是奇数，因此，要使方程式成立，必须满足以下两个条件：

10a^2 + 10b^2是奇数；
19100a + 560a + 1910b + 560b是偶数。

根据第一个条件，我们可以得到a和b的取值情况：

当a和b都是奇数时，10a^2 + 10b^2是偶数，不满足第一个条件；

当a和b都是偶数时，10a^2 + 10b^2是偶数，不满足第一个条件；

当a是奇数，b是偶数时或者a是偶数，b是奇数时，10a^2 + 10b^2是奇数，满足第一个条件。

因此，a和b的取值情况可以为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)。

接下来，我们需要确定a和b的取值，使得19100a + 560a + 1910b + 560b是偶数。

对于19100a + 560a + 1910b + 560b，我们可以将其拆分成(19100a + 560a) + (1910b + 560b)，得到：

19760a + 2470b

如果a是奇数，那么19760a是偶数，2470b是偶数，两数之和是偶数；

如果a是偶数，那么19760a是偶数，2470b是偶数，两数之和是偶数。

因此，a的取值不影响19100a + 560a + 1910b + 560b的奇偶性，只需要确定b的取值即可。

根据b的取值情况，我们可以得到如下结果：

当b是偶数时，a可以是奇数和偶数，符合条件；

当b是奇数时，a只能是偶数，符合条件。

因此，满足题目要求的两个三位数的取值情况为：

(134, 262), (134, 264), (134, 266), (134, 268), (154, 252), (154, 254), (154, 256), (154, 258), (174, 242), (174, 244), (174, 246), (174, 248), (194, 232), (194, 234), (194, 236), (194, 238), (314, 226), (314, 228), (314, 246), (314, 248), (334, 222), (334, 224), (334, 226), (334, 248), (354, 222), (354, 224), (354, 226), (354, 228), (374, 222), (374, 224), (374, 226), (374, 228), (394, 222), (394, 224), (394, 226), (394, 228)。

其中，(134, 262)和(314, 246)的乘积是最小的奇数，为87604。

结论：

满足题目要求的两个三位数的取值情况有32种，其中(134, 262)和(314, 246)的乘积是最小的奇数，为87604。