10颗珠子能摆出多少个不同的数字？

假设这10颗珠子是不同颜色的，我们可以用它们来摆出不同的数字。其中，每个数字在这个系统中表示为一个由10个位置组成的序列，每个位置上有珠子或者没有珠子，表示该位上的数字是1或者0。例如，一个序列'1010101010'可以表示数字42。

现在我们来计算一下可以用这10颗珠子摆出多少个不同的数字。对于每个位置，它可以有两种状态，即珠子或者没有珠子，因此总共有$2^{10}$种不同的序列。但是，这些序列中有一些是无效的，比如全是珠子或者全是空的序列。因此，我们需要减去这些无效序列的数量。

首先，全是珠子的序列只有一种，即'1111111111'。全是空的序列也只有一种，即'0000000000'。因此，我们需要减去这两种无效序列，即：

$2^{10}-2=1022$

但是，这些序列中还有一些是重复的，因为它们可能表示相同的数字。例如，'1010101010'和'0101010101'都表示数字170。为了计算实际的不同数字数量，我们需要将这些重复的序列剔除。

对于一个长度为10的序列，它可以表示的数字数量为$2^{10}=1024$个。但是，其中有一些数字是无效的，比如全是0或者全是1的数字，因此实际的有效数字数量为$2^{10}-2=1022$个。因此，对于长度为10的序列，它最多只能表示1022个不同的数字，而不是1024个。

现在我们来计算一下重复的序列数量。对于一个长度为10的序列，它可以有5个位置放珠子，也可以有5个位置不放珠子。因此，它可以有$C_{10}^5=252$种不同的组合方式。但是，这些组合方式中有一些是重复的，因为它们可能对应相同的数字。例如，'1010101010'和'0101010101'就是一组重复的序列。每组重复序列的数量为10，即一个数字可以有10种不同的序列表示方式。因此，重复的序列数量为：

$252 imes 10=2520$

将重复序列数量从总序列数量中减去，即可得到实际的不同数字数量：

$1022-2520=-1498$

显然，这个结果是负数，这是因为我们没有考虑到所有的数字都可以用10颗珠子来表示。实际上，只有0到1021这1022个数字可以用这个系统来表示，因此实际的不同数字数量为1022个。

综上所述，用10颗珠子可以摆出1022个不同的数字。