求解 sinx/(1+x^2) 的积分 - 使用换元法与反正弦函数

为了求解 sinx/(1+x^2) 的积分，我们可以使用换元法来解决这个问题。

首先，设 u = 1 + x^2，那么 du/dx = 2x，所以 dx = du/2x。

将 x 的表达式代入 sinx/(1+x^2) 中，得到：

sinx/(1+x^2) = sinx/u * 2x/2x = sinx/u * du

这样，我们就得到了一个新的积分：

∫sinx/(1+x^2) dx = ∫sinx/u * du

接下来，我们可以使用反正弦函数来解决这个积分。设 v = arctan(x)，那么 tanv = x，所以 dx = sec^2v dv。

将 v 的表达式代入 sinx/u 中，得到：

sinx/u = sin(arctan(x) + π/2) / (1+x^2)

= cos(arctan(x)) / (1+x^2)

= 1 / (1+x^2)^(1/2)

这样，我们就得到了一个新的积分：

∫sinx/(1+x^2) dx = ∫sinx/u * du

= ∫1/(1+x^2)^(1/2) du

= arcsin(x) + C

其中 C 为常数。

综上所述，sinx/(1+x^2) 的积分为 arcsin(x) + C。