求解齐次线性方程组的基础解系和通解：详细步骤与示例

齐次线性方程组是指方程组的右边都是0的线性方程组，即形如Ax=0的形式，其中A是一个mn的矩阵，x是n1的向量。其基础解系是指齐次线性方程组的解空间中的一组线性无关的解向量组成的集合，而通解是指齐次线性方程组的所有解向量的集合。

求解齐次线性方程组的基础解系的方法有很多种，其中最常用的方法是高斯消元法和矩阵的特征值分解法。高斯消元法是将矩阵A通过初等变换化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵的行和列的特点来确定基础解系。特征值分解法是将矩阵A通过特征值分解为对角矩阵D和特征向量矩阵P的乘积，然后根据特征向量矩阵P中的线性无关向量来确定基础解系。

例如，对于一个二阶齐次线性方程组Ax=0，其中矩阵A为

    [ 1  2 ]
A = [ 2  4 ]

通过高斯消元法得到阶梯形矩阵为

    [ 1  2 ]
A' = [ 0  0 ]

则可得到基础解系为

{ x1 = -2x2 }

即基础解系为(-2,1)。而通解为

{ x = k(-2,1) }

其中k为任意常数。

总之，求解齐次线性方程组的基础解系和通解是线性代数中的基本问题之一，对于解决线性方程组的问题非常重要。