1/(1+sinx) 积分详解：换元法、分部积分法和偏分式分解

要求解 1/(1+sinx) 的积分，我们可以使用换元法。

设 u = tan(x/2)，则 sinx = 2u/(1+u^2)，dx = 2du/(1+u^2)

将 sinx 和 dx 用 u 表示后，原积分变为∫2du/[(1+u^2)(1+2u/(1+u^2))]。

我们可以将分母中的 2u/(1+u^2) 拆成 2u/(1+u^2) * (1+u^2)/(1+u^2)，得到

∫2du/[(1+u^2)(1+2u/(1+u^2))] = ∫2du/[(1+u^2)(1+u^2+2u)] = ∫2du/[(u^2+2u+1)(u+1)]。

接下来我们将分母进行分解，得到

∫2du/[(u+1)^2(u+1)] = ∫2du/[(u+1)^3]。

我们可以用分部积分法解决这个积分，设 v = 1/(u+1)，则 dv/dx = -1/(u+1)^2，du/dx = 2/(1+u^2)

∫2du/[(u+1)^3] = -∫v du/dx dx = -∫1/(u+1)^2 * 2/(1+u^2) dx

现在我们需要解决 ∫1/(u+1)^2 * 2/(1+u^2) dx。

我们可以使用偏分式分解法，将 1/[(u+1)(1+u^2)] 拆成 A/(u+1) + B(u-1)/(1+u^2) 的形式，然后解出 A 和 B 的值。

经过计算，我们得到 A = 1/2，B = -1/2。

因此，∫1/(u+1)^2 * 2/(1+u^2) dx = ∫1/(u+1) du + ∫(-u+1)/(1+u^2) du

= ln|u+1| - 1/2 ln(1+u^2) + C

最终，我们得到 1/1+sinx 的积分为

∫1/1+sinx dx = ln|tan(x/2)+1| - 1/2 ln(1+tan^2(x/2)) + C

其中 C 为常数。