1/(1+x^4) 的不定积分求解详解

首先，我们可以将 1/(1+x^4) 分解成部分分式的形式，即：

1/(1+x^4) = (1/2) * [1/(1+ix) + 1/(1-ix) - 1/(1+x^2)]

其中，i是虚数单位。

接下来，我们来分别求解这三个部分的不定积分。

对于 1/(1+ix)，我们可以采用代换法，令 u=1+ix，则 du=idx。将其代入原式，得到：

∫ 1/(1+ix) dx = (1/i) * ln|1+ix| + C

对于 1/(1-ix)，同理可得：

∫ 1/(1-ix) dx = (-1/i) * ln|1-ix| + C

对于 -1/(1+x^2)，我们可以采用反正切函数的定义，即：

arctan(x) = ∫ 1/(1+x^2) dx

再利用一个性质，即：

arctan(x) + arctan(1/x) = π/2 (x>0)

arctan(x) + arctan(1/x) = -π/2 (x<0)

将其代入原式，得到：

∫ -1/(1+x^2) dx = -arctan(x) + C

将这三个部分的结果合并，得到：

∫ 1/(1+x^4) dx = (1/2i) * [ln|1+ix| - ln|1-ix| - 2arctan(x)] + C

至此，我们成功求得了 1/(1+x^4) 的不定积分。