求解 1+x^(x^2) 的不定积分 - 详细步骤和解答

求解 1+x^(x^2) 的不定积分，我们可以使用换元法。让 u=x^(x^2)，则：

ln(u) = x^2ln(x)

对两边同时求导可得：

1/u * du/dx = 2xln(x) + x

将 du/dx 替换成 u * (2xln(x) + x)，得到：

du/u = (2xln(x) + x)dx

现在我们可以对右侧的式子进行积分：

∫(2xln(x) + x)dx = x^2ln(x) + (1/2)x^2 + C

其中 C 为常数。将 u 替换回原式，得到最终的答案：

∫(1+x^(x^2))dx = ∫(1+u) * (1/(2xln(x)+x))du

= (1/2)ln(u) + (1/2)ln(2xln(x) + x) + C

= (1/2)x^(x^2)ln(x) + (1/2)ln(2x^(x^2)ln(x) + x^(x^2)) + C

综上所述，1+x^(x^2) 的不定积分为 (1/2)x^(x^2)ln(x) + (1/2)ln(2x^(x^2)ln(x) + x^(x^2)) + C。