1+tan²x=sec²x 等式证明及解题步骤

首先，我们先将题目中给出的等式进行展开：

(1 + tan x)² = sec²x

1 + 2tan x + tan²x = 1/cos²x

cos²x + 2sin x/cos x + sin²x/cos²x = 1/cos²x

cos⁴x + 2sin xcos³x + sin²x = 1

cos⁴x + 2sin xcos³x + sin²x - 1 = 0

现在，我们需要找到cos x的值，以便检验原等式是否成立。

观察上式，我们可以发现，它非常类似于三角函数的平方和公式：

cos²x + sin²x = 1

我们可以对其进行变形：

cos²x = 1 - sin²x

将其代入上式中，得到：

(1 - sin²x)² + 2sin x(1 - sin²x)³/2 + sin²x - 1 = 0

简化后得到：

sin⁶x - 3sin⁴x + 3sin²x - 1 = 0

这是一个三次方程，比较麻烦。但我们可以发现，它的解与以下方程的解是相同的：

tan³y - 3tan y + 1 = 0

这是一个经典的三次方程，可以通过变量代换和配方法解出三个根，它们分别是：

tan y = 2cos(π/9) - 1

tan y = -2cos(π/9) - 1

tan y = cos(π/9)

将这三个根带回原方程中，我们可以得到三组解，它们分别是：

cos x = sec(π/9), cos x = sec(7π/9), cos x = sec(13π/9)

这三组解都满足原等式，因此，我们可以得出结论：

1 + tan x的平方 = sec x的平方成立的条件是cos x = sec(π/9), cos x = sec(7π/9), cos x = sec(13π/9)。