1/(1+x^4) 的积分详解：一步步求解原函数

我们考虑对于函数 f(x) = 1/(1+x^4) 进行积分。由于该函数的形式比较复杂，我们需要运用一些积分技巧。

首先，我们可以通过部分分式分解的方法，将 f(x) 表示为一些简单函数的和的形式，进而求出它的原函数。具体地，我们有：

f(x) = 1/(1+x^4) = 1/((x^2 + √2x + 1)(x^2 - √2x + 1))

接下来，我们分别对于分母中的两个二次项进行配方法，得到：

x^2 + √2x + 1 = (x + 1/√2)^2 + (√2/2)^2

x^2 - √2x + 1 = (x - 1/√2)^2 + (√2/2)^2

接着，我们做变量代换 x + 1/√2 = t 和 x - 1/√2 = u，得到：

f(x) = 1/((t^2 + (√2/2)^2)(u^2 + (√2/2)^2))

进一步地，我们可以将 f(x) 表示为一些简单函数的和的形式，具体地，有：

f(x) = 1/√2 (1/(t^2 + (√2/2)^2) - 1/(u^2 + (√2/2)^2))

现在，我们可以对于每个分式分别进行积分，得到：

∫1/(t^2 + (√2/2)^2) dt = 1/(√2/2) arctan(t/(√2/2)) + C1

∫1/(u^2 + (√2/2)^2) du = 1/(√2/2) arctan(u/(√2/2)) + C2

最后，我们将 t 和 u 表示为 x 的函数，即 t = x + 1/√2 和 u = x - 1/√2，代入上式，得到：

∫1/(1+x^4) dx = 1/√2 (arctan[(x + 1/√2) * 1/(√2/2)] - arctan[(x - 1/√2) * 1/(√2/2)]) + C

化简一下，即可得到最终的结果：

∫1/(1+x^4) dx = 1/√2 arctan(√2x) + C

至此，我们成功地求出了 f(x) = 1/(1+x^4) 的原函数。