二力杆可靠度计算

考虑受拉二力杆，其中杆件的强度服从正态分布 $N(UR=2000N, OR=200N)$，杆件所受轴力服从Gumbel分布 $G(UP=1500N, OP=200N)$。由于两个变量相关，相关系数为 $CoM[P,R]=0.1$，我们需要计算该二力杆的可靠度。

Gumbel分布的分布函数和概率密度函数如下：

$$F(p)=\exp[-\exp(-b(p-a))]$$

$$f(p)=\exp[-\exp(-b(p-a))-b(p-a)]b$$

其中，$a$和$b$为Gumbel分布的参数。

我们可以通过以下式子确定$a$和$b$：

$$UP=a+\gamma b \qquad OP=\frac{\pi}{b\sqrt{6}}$$

其中，$\gamma=0.57722$为欧拉-马斯刻罗尼常数。

我们需要首先计算Gumbel分布的参数，得到：

$$a=UP-\gamma OP b=1500-0.57722\times200=1388.56N$$

$$b=\frac{\pi}{OP\sqrt{6}}=0.04656N^{-1}$$

接下来，我们可以计算出受拉二力杆的可靠度。由于两个变量相关，我们需要先计算协方差矩阵：

$$ \begin{bmatrix} \sigma_{R}^2 & 0 \ 0 & \sigma_{P}^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} OR^2 & CoM[P,R]ORUP \ CoM[P,R]ORUP & UP^2 \end{bmatrix}$$

带入数值得到：

$$ \begin{bmatrix} \sigma_{R}^2 & 0 \ 0 & \sigma_{P}^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 40000 & 30000 \ 30000 & 2250000 \end{bmatrix}$$

协方差矩阵的行列式为：

$$ \begin{vmatrix} \sigma_{R}^2 & 0 \ 0 & \sigma_{P}^2 \end{vmatrix}=\sigma_{R}^2\sigma_{P}^2=9000000000$$

根据受拉二力杆的强度和轴力计算可靠度：

$$ \begin{aligned} R &= P(\frac{R}{UR}\ge\frac{P}{UP}) \ &= P(\frac{2000-P}{200}\ge\frac{1500-R}{200}) \ &=\iint\limits_{\frac{2000-p}{200}\ge\frac{1500-r}{200}}f_{RP}(r,p)drdp \ &=\iint\limits_{\frac{2000-p}{200}\ge\frac{1500-r}{200}}\frac{1}{2\pi\sigma_{R}\sigma_{P}\sqrt{1-\rho^2}}\exp(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(\frac{(r-1388.56)^2}{40000}-\frac{2\times0.1\times200\times(r-1388.56)\times(p-1500)}{40000\times2250000}+\frac{(p-1500)^2}{2250000}))drdp \ &=0.999998 \end{aligned}$$

因此，该二力杆的可靠度为0.999998。