矩阵转置乘以矩阵的秩等于矩阵的秩：证明与应用

为什么a的转置乘以a的秩等于a的秩？

矩阵理论是线性代数的核心内容之一，研究了矩阵的性质、运算规律等方面的问题。其中，矩阵的秩是很重要的一个概念，它可以描述矩阵的行或列的最大线性无关组的个数。而矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换，得到一个新的矩阵。

对于一个m行n列的矩阵a，它的秩为r。则存在一个r行n列的矩阵b和一个m行r列的矩阵c使得a=bc。这个分解式称为a的秩分解式。当然，这个分解式不是唯一的。

接下来，我们来证明a的转置乘以a的秩等于a的秩。

假设a的转置为a'，则a'的行数为n，列数为m。因此，a'乘以a的运算结果为一个n行n列的矩阵。我们记这个矩阵为d。

现在，我们需要证明的是d的秩等于a的秩。

首先，我们考虑d的行向量。d的第i行表示a'的第i行与a的每一列的乘积和。因此，d的每一行都是a的列向量的线性组合。而a的秩就是其列向量的最大线性无关组的个数。因此，d的行向量的线性无关组的个数不超过a的秩。

接下来，我们考虑d的列向量。d的第j列表示a的每一行与a'的第j行的乘积和。因此，d的每一列都是a的行向量的线性组合。而a的秩就是其行向量的最大线性无关组的个数。因此，d的列向量的线性无关组的个数不超过a的秩。

因此，d的秩不超过a的秩。但是，我们又可以发现，当a的秩为r时，d的秩至少为r。因为，存在r个线性无关的列向量，它们分别对应a的每一个行向量的乘积和。因此，d的秩等于a的秩。

综上所述，我们证明了a的转置乘以a的秩等于a的秩。这个结论在矩阵理论中有着广泛的应用，也是理解矩阵运算规律的重要基础之一。