多元函数可微分与偏导数连续性的关系

多元函数在某点可微分的充要条件是：该点的各偏导数均连续。

假设多元函数为f(x1,x2,...,xn)，那么在某点(a1,a2,...,an)可微分的充要条件是：在(a1,a2,...,an)周围的每个主曲线方向上，函数f(x1,x2,...,xn)的偏导数都连续存在。

即存在某正数δ>0，使得对于任意的(h1,h2,...,hn)，当∑|hi|<δ时，f(a1+h1,a2+h2,...,an+hn)的偏导数都连续存在。

具体地，在(a1,a2,...,an)可微分的充要条件是：

∂f/∂x1在(a1,a2,...,an)处连续；

∂f/∂x2在(a1,a2,...,an)处连续；

...

∂f/∂xn在(a1,a2,...,an)处连续。