矩阵求逆公式：详解伴随矩阵法、列主元消去法、高斯-约旦消元法

矩阵求逆是在线性代数中一个重要的概念，它扮演着求解方程组的关键作用。矩阵求逆的定义为：

若$A$为$n$阶方阵，则另一个$n$阶方阵$B$，满足$A·B=B·A=I$，其中$I$为$n$阶单位矩阵，则称$B$为$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。

计算矩阵求逆的公式有多种，其中最常见的有伴随矩阵求逆法、列主元消去法、高斯-约旦消元法、高斯-约旦变换法、特征值分解法等。

伴随矩阵求逆法

伴随矩阵求逆法是求矩阵的逆矩阵的最简单的方法，其求逆公式如下：

若矩阵$A$的伴随矩阵为$A^*$，则其逆矩阵为：

$A^{-1}=rac{1}{det(A)}A^*$

其中$det(A)$表示$A$的行列式的值，$A^*$表示$A$的伴随矩阵，其公式为：

$A^*=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right|^T$

其中$a_{ij}$表示$A$矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$|a_{ij}|$表示$a_{ij}$的代数余子式，$T$表示转置。

列主元消去法

列主元消去法是一种利用矩阵的列主元法消去求解矩阵的逆矩阵的方法，其公式为：

$A^{-1} = A_1^{-1}A_2^{-1} \cdots A_n^{-1}$

其中$A_i$表示$A$的第$i$次消去变换后的矩阵，$A_i^{-1}$表示$A_i$的逆矩阵，$A_i$的消去变换公式为：

$A_i = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i-1} & a_{1i+1} & \cdots & a_{1n}
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i-1} & a_{2i+1} & \cdots & a_{2n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ii-1} & a_{ii+1} & \cdots & a_{in}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni-1} & a_{ni+1} & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right|$

$A_i^{-1} = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
-a_{21}/a_{11} & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
-a_{i1}/a_{11} & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
-a_{n1}/a_{11} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{matrix} \right|$

高斯-约旦消元法

高斯-约旦消元法是一种利用高斯-约旦消元法求解矩阵的逆矩阵的方法，其公式为：

$A^{-1} = U^{-1}V$

其中$U$表示$A$的高斯消元变换后的矩阵，$U^{-1}$表示$U$的逆矩阵，$V$表示$A$的约旦消元变换后的矩阵，$U$的消元变换公式为：

$U = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right|$

$U^{-1} = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0
a_{21}/a_{11} & 1 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{n1}/a_{11} & a_{n2}/a_{22} & \cdots & 1
\end{matrix} \right|$

$V = \left| \begin{matrix} 1 & a_{12}/a_{11} & \cdots & a_{1n}/a_{11}
0 & 1 & \cdots & a_{2n}/a_{22}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & \cdots & 1
\end{matrix} \right|$

高斯-约旦变换法

高斯-约旦变换法是一种利用高斯-约旦变换求解矩阵的逆矩阵的方法，其公式为：