求解积分 √(2-x²) 的详细步骤 - 积分计算

求解积分 √(2-x²) 的详细步骤

本文将详细讲解如何求解积分 √(2-x²) 。

积分计算过程

为了求解该积分，我们可以利用三角代换法。具体步骤如下：

1. 三角代换： 令 x = √2 sinθ，则 dx = √2 cosθ dθ。

2. 代入积分： 将 x 和 dx 代入原积分，得到：

∫ √(2-x²) dx = ∫ √(2-2sin²θ) * √2 cosθ dθ

3. 化简： 利用三角恒等式 sin²θ + cos²θ = 1，化简积分式：

∫ √(2-2sin²θ) * √2 cosθ dθ = √2 ∫ cos²θ dθ

4. 再次化简： 利用三角恒等式 cos²θ = (1 + cos2θ) / 2，继续化简积分式：

√2 ∫ cos²θ dθ = √2 / 2 ∫ (1 + cos2θ) dθ

5. 求解积分： 对积分式进行求解：

√2 / 2 ∫ (1 + cos2θ) dθ = √2 / 2 (θ + 1/2 sin2θ) + C

6. 还原变量： 将 θ 还原为 x：

√2 / 2 (θ + 1/2 sin2θ) + C = √2 / 2 (sin⁻¹(x/√2) + 1/2 * x * √(2-x²)) + C

总结

因此，积分 √(2-x²) 的结果为：

∫ √(2-x²) dx = √2 / 2 (sin⁻¹(x/√2) + 1/2 * x * √(2-x²)) + C