长方体和正方体棱长之和相等：求解长方体长宽

假设长方体的长、宽、高分别为 'l, w, h'，正方体的棱长为 's'。题目中给出了一个条件：长方体和正方体的棱长之和相等，即：

$$l + w + h = 3s$$

我们需要求解这个条件下长方体的长和宽。

考虑到长方体的面积可以表示为 'lw, lh, wh' 三者之一，我们可以分别列出三个方程：

$$lw = sh$$

$$lh = sw$$

$$wh = sl$$

将这三个方程联立起来，可以得到：

$$l = \frac{s(w+h)}{2w}$$

将 'l' 代入 'l + w + h = 3s'，化简得：

$$w^2 - 2sw + (s^2 - sh) = 0$$

根据求根公式，可以解得：

$$w = \frac{s}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{s^2 - sh}$$

由于 'w' 为长方体的宽，必须是正数，因此我们只考虑正根：

$$w = \frac{s}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{s^2 - sh}$$

将 'w' 代入 'l + w + h = 3s'，可以求得长方体的长：

$$l = \frac{s}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{s^2 - sh}$$

因此，长方体的长和宽分别为：

$$l = \frac{s}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{s^2 - sh}$$

$$w = \frac{s}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{s^2 - sh}$$

答案得证。