z=(1+xy)^x 偏导数计算详解

(1) 首先，我们来计算(1+xy)^x的偏导数。

根据链式法则，

\frac{\partial (1+xy)^x}{\partial x}=\frac{\partial (1+xy)^x}{\partial (1+xy)} \cdot \frac{\partial (1+xy)}{\partial x}

= (1+xy)^x \cdot \ln(1+xy) \cdot y

(2) 接下来，我们来计算(1+xy)^x的二阶偏导数。

根据链式法则，

\frac{\partial^2 (1+xy)^x}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial (1+xy)^x}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left((1+xy)^x \cdot \ln(1+xy) \cdot y\right)

=(1+xy)^x \cdot y\cdot \frac{\partial \ln(1+xy)}{\partial x} + \ln(1+xy)\cdot \frac{\partial (1+xy)^x}{\partial x}

=(1+xy)^x \cdot y\cdot \frac{1}{1+xy} + \ln(1+xy)\cdot (1+xy)^x \cdot \ln(1+xy) \cdot y

=(1+xy)^{x-1} \cdot y^2 + (1+xy)^x \cdot \ln^2(1+xy) \cdot y^2

(3) 最后，我们来计算(1+xy)^x的三阶偏导数。

根据链式法则，

\frac{\partial^3 (1+xy)^x}{\partial x^3}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2 (1+xy)^x}{\partial x^2}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left((1+xy)^{x-1} \cdot y^2 + (1+xy)^x \cdot \ln^2(1+xy) \cdot y^2 \right)

=(1+xy)^{x-2} \cdot y^3 + 2(1+xy)^{x-1} \cdot y\cdot \frac{\partial \ln(1+xy)}{\partial x} + (1+xy)^x \cdot \ln^3(1+xy) \cdot y^3

=(1+xy)^{x-2} \cdot y^3 + 2(1+xy)^{x-1} \cdot y\cdot \frac{1}{1+xy} + (1+xy)^x \cdot \ln^3(1+xy) \cdot y^3

至此，我们就计算出了(1+xy)^x的一阶、二阶和三阶偏导数。