求解积分 1/(1+sinx) 的详细步骤

求解积分 (\int\frac{1}{1+sinx}dx)

解： 首先，我们用变量替换法，将 (sinx) 替换成 (u)，令 (u=sinx)，则 (dx=\frac{du}{cosx})，

因此，原积分可化简为： (\int\frac{1}{1+u}du=\int\frac{1}{1+sinx}dx=\int\frac{1}{1+sinx}\frac{du}{cosx}=\int\frac{du}{1+u\cdot cosx})

考虑到 (u=sinx)，其变化范围是 ([-1,1]),由于 (cosx\in([-1,1])，原积分的分母项 (1+u\cdot cosx) 的取值范围在 ([0,2])，即 (1+u\cdot cosx\neq0)，故原积分是存在的。

由微积分中的分部积分定理，有：

(\int\frac{du}{1+u\cdot cosx}=\ln|1+u\cdot cosx|+C=\ln|1+sinx\cdot cosx|+C)

当我们将 (u) 替换为 (sinx) 时，得到：

(\int\frac{1}{1+sinx}dx=\ln|1+sinx\cdot cosx|+C)

其中 (C) 为积分常数。

综上所述，求得积分 (\int\frac{1}{1+sinx}dx) 的解为：

(\int\frac{1}{1+sinx}dx=\ln|1+sinx\cdot cosx|+C)

解析：

本题为变量替换法求积分，首先我们将原积分 (\int\frac{1}{1+sinx}dx) 中的 (sinx) 用变量替换法替换成 (u)，令 (u=sinx)，则 (dx=\frac{du}{cosx})，将原积分化简为 (\int\frac{du}{1+u\cdot cosx})，然后考虑 (u) 的取值范围，最后利用分部积分定理求得积分 (\int\frac{1}{1+sinx}dx) 的解为：

(\int\frac{1}{1+sinx}dx=\ln|1+sinx\cdot cosx|+C)

其中 (C) 为积分常数。