正定矩阵与单位矩阵合同证明

正定矩阵与'单位'矩阵合同

对于一个$n \times n$的正定矩阵$A$，它与$n \times n$的单位矩阵$I$是合同的。

合同矩阵指的是两个方阵$A,B$，存在一个可逆矩阵$P$，使得$A=P^{T}BP$。

证明：

由于$A$是正定矩阵，所以它可以被分解为$A=QQ^{T}$的形式，其中$Q$是$n \times n$的可逆矩阵。

那么有$A=Q^{T}(Q^{T})^{T}$，即$A=Q^{T}Q$。

因为$Q$是可逆矩阵，所以$Q^{T}$也是可逆矩阵。

那么可以令$P=Q^{T}$，则有$A=P^{T}P$。

又因为$I$是单位矩阵，所以$I = II$。

因此，$A$和$I$是合同的，证毕。