n阶行列式展开式每一项不为零的条件

当n阶行列式aij的展开式中每一项都不为零时，我们可以得出以下几个结论：/n/n## 1. 行列式的对角线元素必须全部不为零/n/n假设行列式对角线元素中第k个元素为0，则由于展开式的每一项都不为零，必然存在一项包含了第k行或第k列的所有元素，即'a_{k1} /cdot A_{k1} + a_{k2} /cdot A_{k2} + ... + a_{kn} /cdot A_{kn}'不为零。但是，由于'a_{kk} = 0'，因此这一项必然为零，与前提矛盾。/n/n因此，行列式的对角线元素必须全部不为零。/n/n## 2. 行列式的每一行和每一列都必须互不相同/n/n假设存在两行或两列在行列式展开式中的系数完全相同，则这两行或两列可以互换，得到相同的展开式，与前提矛盾。/n/n因此，行列式的每一行和每一列都必须互不相同。/n/n## 3. 行列式的每一行和每一列都必须是某个排列的置换/n/n由于行列式展开式中每一项都不为零，因此每个元素'a_{ij}'都至少在一项中出现。设该项的系数为'c'，则'c /cdot a_{ij}'对应一个排列'p'，使得'p(i) = j'。因此，行列式的每一行和每一列都必须是某个排列的置换。/n/n综上所述，当n阶行列式aij的展开式中每一项都不为零时，行列式的对角线元素必须全部不为零，每一行和每一列都必须互不相同，并且每一行和每一列都必须是某个排列的置换。