(1+xy)^y 偏导数计算 - 使用链式法则求导

计算 (1+xy)^y 的偏导数

我们需要使用链式法则来计算这个偏导数。

首先，我们对 (1+xy) 进行求导，得到：

$$\frac{\partial}{\partial x}(1+xy) = y$$

因为 y 是一个常数，所以我们可以将其视为一个常数项。

然后，我们对 y^u 进行求导，其中 u 是一个函数，即 u(x) = 1+xy。根据链式法则，我们有：

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^u) = \frac{\partial y^u}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$$

现在我们需要计算两个部分：$\frac{\partial y^u}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial x}$。

首先，我们计算 $\frac{\partial y^u}{\partial u}$。根据指数函数的求导法则，我们有：

$$\frac{\partial y^u}{\partial u} = y^u \cdot \ln y$$

然后，我们计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$。根据乘积法则，我们有：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(1+xy) = y$$

现在我们将这两个部分组合起来，得到：

$$\frac{\partial}{\partial x}(1+xy)^y = y(1+xy)^y \ln(1+xy)$$

这就是我们需要的偏导数。