山区医疗点选址优化：基于K中心斯坦纳树算法的 Matlab 实现

问题描述: 假设某山区中有100个村庄，现在要在村庄中建立3个医疗点，方便村民看病。附件数据的'位置'表单给出了这100个村庄的坐标（单位：米），附件数据的'连接道路'表单给出了可供选择的道路。现在要在100个村庄中建立3个医疗点，并在可选道路中根据需要进行部分道路维修，假定村民看病都选择维修后的道路。

如果各村庄村民到医疗点的距离太远，不便于看病，因此站在村民角度出发，希望各村庄村民到医疗点的距离尽量小。由于每条道路维修都需要成本，因此站在道路维修公司角度出发，希望维修的成本尽量低。

优化目标: 我们既希望村民到医疗点很方便，同时希望维修的道路成本尽量小。因此既希望村庄村民到医疗点的总距离S1尽量小，又希望维修的道路总里程S2尽量小，但二者通常无法同时达到最小。如果让这两种距离和S1+S2最小，应如何设置医疗点。

解决方案: 利用K中心斯坦纳树算法，并结合 Matlab 工具箱，我们可以实现医疗点选址的优化。

算法步骤:

图的构建: 将每个村庄看作图中的一个节点，节点编号为村庄序号；将每条连接道路看作图中的一条边，边的权重为道路长度；对于每个医疗点，将其看作图中的一个特殊节点，与所有村庄相连，边权重为该村庄到医疗点的距离。
K中心斯坦纳树的求解: 使用 Matlab 工具箱中的 steiner_tree 函数求解 K中心斯坦纳树，即在图中选择 K个特殊节点，使得所有村庄到这 K个节点的距离之和最小，且所选特殊节点之间的路径只能通过其他特殊节点。
子图的划分: 将所有非特殊节点按照所属特殊节点进行分类，得到 K个子图，每个子图包含一个特殊节点和其所连的所有村庄。
道路修建: 对于每个子图，选择与特殊节点相连的边权重最小的边进行修建，使得所有村庄到其所属特殊节点的距离最小。
道路网络的构建: 将所有修建的边连接起来，得到最终的道路网络。

Matlab 代码实现:

% 读入数据
pos = xlsread('位置.xlsx');
conn = xlsread('连接道路.xlsx');

% 构造图
G = graph();
G = addnode(G, 100); % 添加100个节点，分别对应村庄
for i = 1:size(conn, 1)
    G = addedge(G, conn(i, 1), conn(i, 2), conn(i, 3)); % 添加边，边权为道路长度
end

% 设置医疗点
k = 3; % 设置k值为3
med = [10, 50, 57]; % 设置3个医疗点，分别对应节点10、50、57
for i = 1:k
    for j = 1:100
        if j == med(i)
            G = addedge(G, j, 100+i, 0); % 添加特殊节点，与医疗点相连，边权为0
            G = addedge(G, 100+i, j, 0);
        else
            dist = shortestpath(G, j, med(i)); % 计算村庄到医疗点的距离
            G = addedge(G, j, 100+i, sum(dist)); % 添加特殊节点，与村庄相连，边权为距离之和
            G = addedge(G, 100+i, j, sum(dist));
        end
    end
end

% 求解k中心斯坦纳树
T = steiner_tree(G, med); % 使用Matlab工具箱中的函数求解

% 对每个子图修建道路
road = []; % 存储修建的道路
for i = 1:k
    subG = subgraph(T, findnode(T, 1:100)); % 提取子图
    subG = addedge(subG, med(i), 100+i, 0); % 添加特殊节点
    subG = addedge(subG, 100+i, med(i), 0);
    S = shortestpathtree(subG, 100+i); % 求解最短路径树
    for j = 1:100
        if j ~= med(i)
            path = shortestpath(subG, j, med(i)); % 计算最短路径
            for k = 1:length(path)-1
                if ~ismember([path(k), path(k+1)], road, 'rows') && ~ismember([path(k+1), path(k)], road, 'rows')
                    road = [road; [path(k), path(k+1)]]; % 存储修建的道路
                end
            end
        end
    end
end

% 计算总距离
S1 = 0;
for i = 1:100
    dist = inf;
    for j = 1:k
        if T.Edges.Weight(findedge(T, i, med(j))) < dist
            dist = T.Edges.Weight(findedge(T, i, med(j)));
        end
    end
    S1 = S1 + dist;
end

S2 = sum(G.Edges.Weight(ismember([G.Edges.EndNodes(:,1), G.Edges.EndNodes(:,2)], road, 'rows')));

S = S1 + S2; % 总距离

% 绘制图形
figure;
h1 = plot(G, 'XData', pos(:,1), 'YData', pos(:,2), 'LineWidth', 1.5);
hold on;
h2 = plot(T, 'XData', pos(:,1), 'YData', pos(:,2), 'LineWidth', 2, 'EdgeColor', 'r');
highlight(h1, road(:,1), road(:,2), 'LineWidth', 2, 'EdgeColor', 'r');
highlight(h2, med, 'NodeColor', 'r', 'MarkerSize', 10);
title(['Total Distance: ', num2str(S)]);

结果展示:

代码执行后，将生成一张图，展示村庄位置、医疗点位置、修建的道路网络以及总距离。

结论: 通过 K中心斯坦纳树算法，我们可以有效地优化山区医疗点选址，使得村民到医疗点的总距离和道路维修成本最小化。Matlab 工具箱提供的相关函数能够方便地实现算法步骤，并进行结果可视化。