区间套定理：定义、证明及应用

区间套定理是一个在实分析中常用的定理，它是紧致性的一个重要应用。区间套定理说的是：如果'I_1,I_2,I_3,/ldots'是一系列的闭区间，且满足/n/n1. 'I_1/supseteq I_2/supseteq I_3/supseteq/cdots'，也就是说，每个区间都包含它后面的所有区间；/n/n2. 'lim_{n/rightarrow/infty}text{length}(I_n)=0'，也就是说，所有区间的长度都趋近于零。/n/n那么，这个序列的交集非空，且只包含一个点。/n/n这个定理的证明比较简单。首先，根据闭区间套定理，这个序列的交集不为空。其次，因为所有区间的长度都趋近于零，所以这个序列的交集只包含一个点。如果存在两个不同的点，那么它们之间的距离就大于等于某个正数，而这个正数大于所有区间的长度之和，这显然是不可能的。/n/n这个定理的应用非常广泛。例如，我们可以用它来证明柯西收敛原理，即如果一个实数序列是柯西列，那么它收敛。我们只需要构造一系列区间，使得每个区间的长度等于这个序列的柯西收敛性所需要的误差，然后利用区间套定理即可证明这个序列收敛。